Сплайн по 3D точкам

Вызов команды:

3D путь в виде сплайна строится на основе исходных (контрольных) 3D точек. В качестве исходных (контрольных) могут быть использованы любые геометрические точки модели – 3D узлы, вершины, характерные точки рёбер, граней, тел.

Система позволяет строить 3D сплайны трёх типов:

•3D полилиния;

•3D сплайн через узлы;

•3D сплайн по ломаной.

Любой тип 3D сплайна может открытым либо закрытым (периодическим). В случае периодического сплайна последняя выбранная геометрическая точка автоматически соединяется с первой.

Для построения замкнутого сплайна любого типа необходимо не менее трёх контрольных точек.

1 – замкнутая 3D полилиния; 2 – замкнутый 3D сплайн по точкам; 3 – замкнутый 3D сплайн по ломаной

3D полилиния

3D полилиния представляет собой пространственную ломаную, состоящую из отрезков прямых, соединяющих точки исходного набора.

1 – исходные геометрические точки; 2 – 3D полилиния

По умолчанию полилиния является частным случаем 3D сплайна первой степени.

3D сплайн через узлы

3D сплайн через узлы – сплайн, проходящий через все контрольные точки (узлы). В данном случае контрольными точками (узлами) являются выбранные геометрические точки модели.

1 – исходные геометрические точки; 2 – 3D сплайн через узлы

Основным параметром данного типа сплайна является его Степень – степень полиномов кусочно-непрерывной функции, которыми он описывается. Максимально допустимое значение степени на единицу меньше контрольных точек (узлов) сплайна. Для сплайнов с количеством (узлов) контрольных точек больше четырёх по умолчанию используются полиномы третьей степени.

Форма 3D сплайна через узлы в зависимости от его степени: 1 – сплайн второй степени; 2 – сплайн третьей степени; 3 – сплайн четвёртой степени

Также к особенностям данного типа сплайна относится возможность задания его направления в каждой контрольной точке (узле). Направление определяется по специальному объекту – касательной. Таким образом результирующий сплайн будет касаться заданного направления в текущей точке (узле).

1 – текущая точка; 2 – касательная, задающая направление сплайна в текущей точке; 3 – вектор направления сплайна в текущей точке

Контрольная точка (узел) сплайна не обязательно должна принадлежать направляющему объекту.

В контрольных точках (узлах) сплайна по узлам, соприкасающихся с другими кривыми, допускается определить характер сопряжения. Предусмотрены следующие варианты:

1 – исходная кривая для сопряжения; 2 – точка сопряжения; 3 – 3D сплайн через узлы

•Непрерывность G0 – предполагает совпадение в пространстве сопрягающихся кривых в текущей точке (узле).

Сопряжение 3D сплайна с исходной кривой с непрерывностью G0: 1 – исходная кривая для сопряжения; 2 – результирующий 3D сплайн через узлы; 3 – эпюра кривизны

•Непрерывность G1 – предполагает совпадение направлений касательных сопрягающихся кривых в текущей точке (узле).

Сопряжение 3D сплайна с исходной кривой с непрерывностью G1: 1 – исходная кривая для сопряжения; 2 – результирующий 3D сплайн через узлы; 3 – эпюра кривизны

•Непрерывность G2 – предполагает совпадение направлений касательных сопрягающихся кривых и равенство их кривизны в текущей точке (узле).

Сопряжение 3D сплайна с исходной кривой с непрерывностью G2: 1 – исходная кривая для сопряжения; 2 – результирующий 3D сплайн через узлы; 3 – эпюра кривизны

•Непрерывность G3 – предполагает совпадение направлений касательных сопрягающихся кривых, равенство их кривизны, а также сохранение гладкости кривизны в текущей точке.

Сопряжение 3D сплайна с исходной кривой с непрерывностью G3: 1 – исходная кривая для сопряжения; 2 – результирующий 3D сплайн через узлы; 3 – эпюра кривизны

При непрерывности G1 G2 G3 допускается устанавливать значение Модуля касательной – коэффициента, масштабирующего значение длины касательного вектора. По умолчанию значение равно [1]. Удобство управления модулем касательной достигается за счёт использования специального манипулятора – стрелки – в 3D сцене.

1 – исходная кривая для сопряжения; 2 – результирующий 3D сплайн через узлы; 3 – манипулятор управления модулем касательной

Направление касания сплайна в точке сопряжения с другой кривой допускается изменить на противоположное.

3D сплайн по ломаной

3D сплайн по ломаной (NURBS-сплайн – неоднородный рациональный B-сплайн) – сплайн произвольной степени по управляющей ломаной. Выбранные геометрические точки модели используются для построения управляющей ломаной. Сам сплайн через них не проходит (за исключением первой и последней точек в случае разомкнутого (открытого) сплайна).

1 – исходные геометрические точки; 2 – управляющая ломаная; 3 – 3D сплайн по ломаной

Помимо Степени одной из основных характеристик данного типа сплайна является Вес – весовой коэффициент управляющей точки. Чем больше вес точки, тем ближе к ней проходит кривая. По умолчанию для всех управляющих точек вес равен [1].

1 – управляющая вершина; 2 – 3D сплайн с весом [1] в контрольной точке; 3 – 3D сплайн с весом [2] в контрольной точке; 4 – 3D сплайн с весом [3] в контрольной точке

Ещё одним параметром данного типа сплайна, влияющим на его геометрию, является тип параметризации, определяющий интервалы между математическими узлами сплайна. Предусмотрены следующие типы:

•По длине хорды – размещение математических узлов пропорционально расстояниям между каждой связанной парой контрольных точек.

•Однородная – математические узлы размещаются на равном расстоянии друг от друга независимо от расстояния между контрольными точками. Так как форма кривой не адаптируется к длинам сегментов управляющей ломаной, на маленьких сегментах могут получаться складки и петли.

•Центростремительная – размещение математических узлов пропорционально квадратному корню расстояния между каждой связанной парой контрольных точек.

•Вручную. Данный тип параметризации предполагает самостоятельное определение положения математических узлов. Для удобства в 3D сцене предназначены специальные манипуляторы.

Форма сплайна в зависимости от типа параметризации: 1 – по хорде; 2 – однородная; 3 –  центростремительная; 4 – вручную; 5 – манипуляторы управления узлами параметризации.

Любая контрольная точка 3D пути может быть смещена относительно исходного положения. Для этого она должна принадлежать пространственной кривой. Таким образом смещение контрольной точки осуществляется вдоль этой кривой.

Если исходная геометрическая точка не принадлежит кривой, то в качестве контрольной точки сплайна будет использоваться проекция геометрической точки на эту кривую.

В качестве кривой может быть выбран любой проволочный объект модели. Управление смещением контрольной точки относительно начала выбранной кривой может осуществляться окне параметров, а также непосредственно в 3D сцене за счёт использования специального манипулятора в виде сферы.

1 – исходная контрольная точка; 2 – кривая для смещения исходной контрольной точки; 3 – манипулятор смещения

Для 3D пути как сплайна через узлы выбранная кривая по умолчанию является также и его касательной (ссылка на касательную) в текущей контрольной точке.

Создание 3D пути как 3D сплайна по 3D точками

Создание 3D сплайна обычно начинается с указания набора 3D точек, по которым будет строиться сплайн. Для выбора 3D точек используется опция:

Все выбранные 3D точки последовательно заносятся в соответствующий список контрольных точек сплайна в окне параметров. Для каждой контрольной точки в зависимости от типа сплайна отображаются заданные дополнительные параметры. Управление списком осуществляется с помощью кнопок Развернуть , Свернуть , Удалить элемент из списка , Очистить .

Выбор типа результирующего 3D сплайна осуществляется с помощью соответствующих пиктограмм в окне параметров:

Степень 3D сплайна задаётся в соответствующем поле в окне параметров.

Задание объекта, определяющего направление 3D сплайна через узлы в текущей контрольной точке, осуществляется с помощью следующей опции автоменю:

Выбор осуществляется в 3D сцене (при помощи ) либо в дереве модели. При этом важно обращать внимание на состояние фильтров выбора элементов.

Выбранный объект отображается в поле Касательная окна параметров. Отмена и повторный выбор осуществляется при помощи кнопки Очистить .

Выбор кривой, вдоль которой необходимо сместить текущую контрольную точку, осуществляется при помощи следующей опции автоменю:

Объект, указанный в качестве кривой смещения, отображается в поле Кривая окна параметров. Значение смещения контрольной точки задаётся в единицах модели в соседнем поле.

Пиктограммы предназначены для определения типа сопряжения 3D сплайна с исходной кривой в текущей контрольной точке. Модуль касательной управляется с помощью манипулятора в виде стрелки в 3D сцене либо путём изменения значения в окне параметров. Смена направления касания осуществляется с помощью пиктограммы .

Значение весового коэффициента текущей управляющей вершины сплайна по ломаной задаётся после её выбора в специальном поле Вес.

Выбор типа параметризации сплайна по ломаной осуществляется на специальной вкладке окна параметров. На данной вкладке также отображается количество и интервалы математических узлов сплайна. В режиме Вручную интервалы между узлами допускается изменять – при помощи специальных манипуляторов в треугольников в 3D сцене либо в специальном поле в окне параметров.